Способ буравчика

Способ буравчика

Способ буравчика — метод решения дифференциальных уравнений первого порядка в форме y’ + P(x)y = Q(x) .

Шаги:

1. Найдите интегрирующий множитель:
Интегрирующий множитель M(x) определяется как:
«`
M(x) = e^(∫P(x) dx)
«`

2. Умножьте уравнение на интегрирующий множитель:
«`
M(x)y’ + M(x)P(x)y = M(x)Q(x)
«`

3. Замените левую часть производной:
При применении правила произведения к M(x)y получаем:
«`
[(M(x)y)]’ = M(x)y’ + M'(x)y
«`
Подставив это в умноженное уравнение, получаем:
«`
[(M(x)y)]’ = M(x)Q(x)
«`

4. Интегрируйте обе части:
Интегрируя обе части, получаем:
«`
M(x)y = ∫M(x)Q(x) dx + C
«`
где C — константа интегрирования.

5. Разделите обе части на интегрирующий множитель:
Чтобы получить решение, разделите обе части на M(x):
«`
y = (1/M(x)) ∫M(x)Q(x) dx + (C/M(x))
«`

Пример:

Решите дифференциальное уравнение y’ + 2xy = x.

1. Найдите интегрирующий множитель:
«`
M(x) = e^(∫2x dx) = e^(x^2)
«`

2. Умножьте уравнение на интегрирующий множитель:
«`
e^(x^2)y’ + 2xe^(x^2)y = xe^(x^2)
«`

3. Замените левую часть производной:
«`
[(e^(x^2)y)]’ = xe^(x^2)
«`

4. Интегрируйте обе части:
«`
e^(x^2)y = (1/2)e^(x^2) + C
«`

5. Разделите обе части на интегрирующий множитель:
«`
y = (1/2) + C/e^(x^2)
«`
где C — константа интегрирования.