Правило Бу (правило деления) — это частный случай правила Крамера для решения системы линейных уравнений. Правило Бу применяется, когда известно значение одного из неизвестных и нужно найти значения остальных неизвестных.
Формулировка правила Бу:
Чтобы найти значение неизвестного (x_k) в системе линейных уравнений:
$$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + cdots + a_{1n}x_n = b_1$$
$$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + cdots + a_{2n}x_n = b_2$$
$$vdots$$
$$a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + cdots + a_{nn}x_n = b_n$$
при условии, что (x_k = d), нужно:
1. Найти определитель матрицы коэффициентов (A), то есть определитель матрицы:
$$begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{bmatrix}$$
2. Найти определитель матрицы (A_k), полученной заменой (k)-го столбца матрицы (A) на столбец значений правых частей системы (b_1, b_2, ldots, b_n):
$$begin{bmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & b_2 & a_{23} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{n1} & b_n & a_{n3} & cdots & a_{nn} end{bmatrix}$$
3. Найти значение неизвестного (x_k):
$$x_k = frac{|A_k|}{|A|}$$
Пример:
Решить систему линейных уравнений:
$$3x + 2y — z = 9$$
$$2x + y + 3z = 11$$
$$x — y + 2z = 5$$
При условии, что (x = 2).
Решение:
1. Вычисляем определитель матрицы коэффициентов:
$$|A| = begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \ 2 & 1 & 3 \ 1 & -1 & 2 end{vmatrix} = 18$$
2. Вычисляем определитель матрицы (A_3):
$$|A_k| = begin{vmatrix} 3 & 9 & -1 \ 2 & 11 & 3 \ 1 & 5 & 2 end{vmatrix} = 30$$
3. Вычисляем значение неизвестного (y):
$$y = frac{|A_3|}{|A|} = frac{30}{18} = frac{5}{3}$$
Аналогично вычисляем значение неизвестного (z):
$$z = frac{|A_2|}{|A|} = frac{30}{18} = frac{5}{3}$$
Итак, значения неизвестных (y) и (z):
$$y = frac{5}{3}$$
$$z = frac{5}{3}$$